Skaičių aibės. Veiksmai su skaičių aibėmis
Kas yra aibė?
Aibė — tam tikrą savybę tenkinančių objektų rinkinys.
Aibės elementai — objektai, iš kurių sudaryta aibė.
Skaičių aibės — grupės, į kurias pagal tam tikras savybes skirstomi skaičiai.
Aibių tipai
- Begalinė aibė — aibė, turinti be galo daug elementų.
- Baigtinė aibė — aibė, turinti baigtinį elementų skaičių.
- Tuščioji aibė — aibė, neturinti nė vieno elemento (žymima \( \displaystyle \varnothing \)).
Skaičių tipai
- Natūralieji skaičiai — skaičiai, vartojami daiktams skaičiuoti ar daikto numeriui nurodyti.
Natūraliųjų skaičių aibė: \( \mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,\dotsc\} \). - Sveikieji skaičiai — natūralieji skaičiai plius priešingi ir nulis.
Sveikųjų skaičių aibė: \( \mathbb{Z} = \{ \dotsc, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dotsc \} \). - Racionalieji skaičiai — skaičiai, išreiškiami sveiko skaičiaus ir natūralaus santykiu.
Racionaliųjų skaičių aibė: \( \mathbb{Q} = \{ a=\tfrac{m}{n}\,|\,m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}\} \). - Iracionalieji skaičiai — skaičiai, kurių negalime išreikšti trupmenomis.
Iracionaliųjų skaičių aibė: \( \mathbb{I} = \{ a\not=\tfrac{m}{n}\,|\,m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N} \} \). - Realieji skaičiai — racionalieji ir iracionalieji skaičiai.
Realiųjų skaičių aibė: \( \mathbb{R} = (-\infty,\ +\infty) \).
Natūralieji skaičiai, kurie
- dalijasi iš 2, vadinami lyginiais;
- nesidalija iš 2, vadinami nelyginiais;
- turi lygiai du daliklius, vadinami pirminiais;
- turi daugiau nei du daliklius, vadinami sudėtiniais.
Pastaba: Skaičius 1 nelaikomas nei pirminiu, nei sudėtiniu. Pats mažiausias pirminis skaičius yra 2. Jis yra vienintelis lyginis pirminis skaičius.
Kokius veiksmus atliekame su aibėmis?
Aibių sąjunga (\(A\cup B\)) — nauja aibė, sudaryta iš elementų, priklausančių bent vienai iš šių aibių.
Jeigu \(A=\{0,1,2,3,4\}\), o \(B=\{3,4,5,6,7,8,9\}\), tai \(A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Jeigu \(C=\{a,b,c\}\), o \(D=\{d,e,f,g,h\}\), tai \(C\cup D=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\).
Jeigu \(E=[-2,7)\), o \(F=[4,9)\), tai \(E\cup F=[-2,9)\).
Aibių sankirta (\(A\cap B\)) — aibė, sudaryta tik iš tų elementų, kurie priklauso kiekvienai iš šių aibių.
Jeigu \(C=\{a,b,c\}\), o \(D=\{d,e,f,g,h\}\), tai \(C\cap D=\varnothing\).
Jei \(E=[-2,7)\), o \(F=[4,9)\), tai \(E\cap F=[4,7)\).
Aibių skirtumas (\(A\setminus B\)) — aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nepriklauso aibei B.
Jeigu \(C=\{a,b,c\}\), o \(D=\{d,e,f,g,h\}\), tai \(C\setminus D=\{a,b,c\}\).
Jei \(E=[-2,7)\), o \(F=[4,9)\), tai \(E\setminus F=[-2,4)\) ir \(F\setminus E=[7,9)\).
Universalioji aibė (\(U\)) — aibė, kurios elementai yra visų nagrinėjamos aibių grupės elementai. Kuri aibė yra universalioji, kiekvienu atveju suprantame iš konteksto arba tai būna nurodyta. Universalios aibės \(U\) ir aibės \(A\) skirtumas vadinamas aibės \(A\) papildiniu ir žymimas \(\overline{A}\).